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从引力场弱的地方观察处于强引力场的氢原子电子跃迁发光会发现频率降低怎么证明引力场大的地方“时间短”?


正如前面的答友所言,这就是广义相对论的三大经典实验验证之一——引力红移。任何一本广义相对论的教材都会有推导的。我在这里简要阐述一下。

首先,简单说这个逻辑是这样的:在稳态时空中我们可以根据广义相对论证明引力场较强的地方时间走得慢,接着我们可以据此推导出原子光谱红移(就是题主所谓的频率变低)的公式。那到底广义相对论预言的对不对呢?结果实验发现太阳处(引力场大的地方)的原子光谱确实相较地球实验室中测得的同种原子光谱发生了红移,那么就证明了广义相对论的正确性。

具体说一说:

我们在Schwarzschild时空中讨论引力红移,首先我们说Schwarzschild时空是稳态时空,所谓稳态时空也就是时空度规满足\frac{\partial g_{\mu \nu}}{\partial t}=0,显然Schwarzschild时空是稳态的。这一点对后面的讨论是有意义的。

如果在稳态时空中有两个空间点P_{1}P_{2},分别有静止光源和静止观测者。若P_{1}点的光源在坐标时刻t_{1}发出一个光信号,P_{2}处的观测者在坐标时刻t_{2}收到这一信号,定义两坐标时刻之差为\delta t=t_{2}-t_{1}。然后,P_{1}点的光源在坐标时刻t_{1}^{'}又发出一个光信号,此信号在坐标时刻t_{2}^{'}到达P_{2}处的观测者,两坐标时刻之差为\delta t^{'}=t_{2}^{'}-t_{1}^{'}由于时空是稳态的,必有\delta t=\delta t^{'}即有t_{2}-t_{1}=t_{2}^{'}-t_{1}^{'},稍加整理,我们有dt_{2}\equiv t_{2}^{'}-t_{2}=t_{1}^{'}-t_{1}\equiv dt_{1},其中dt_{1}P_{1}点发出两个光信号的坐标时间间隔,其固有时间间隔相应为d\tau _{1}=\sqrt{-g_{00}}|_{P_{1}}dt_{1}dt_{2}P_{2}处的观测者收到这两个光信号的坐标时间间隔,其固有时间间隔相应为d\tau _{2}=\sqrt{-g_{00}}|_{P_{2}}dt_{2}

根据前面的式dt_{1}=dt_{2}得到一个重要的关系式d\tau _{2}=\frac{\sqrt{-g_{00}}|_{P_{2}}}{\sqrt{-g_{00}}|_{P_{1}}}d\tau_{1}。前一式表明,稳态时空中任意两点的坐标钟所标记的两个信号的坐标时间之差是相等的,后一式则说明,任意两点的静止标准钟所测量的两个信号的固有时间之差一般是不相等的。

将Schwarzschild度规代入d\tau _{2}=\frac{\sqrt{-g_{00}}|_{P_{2}}}{\sqrt{-g_{00}}|_{P_{1}}}d\tau_{1}这个式子里,得到d\tau _{2}=\frac{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^{2}r_{2}}}}{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^{2}r_{1}}}}d\tau_{1}这个式子是我们一切讨论的基础。

现在开始讨论:当r_{1}<r_{2}时,我们有d\tau_{2}>d\tau_{1},所以,静止于引力场较强(r
小)的地方的标准钟走得慢。令r_{2}趋于无穷远,有d\tau _{\infty }=\left(  1-\frac{2GM}{c^{2}r} \right)^{-\frac{1}{2}}d\tau,其中rr_{1}d\taud\tau_{1}d\tau_{\infty }为静止于无穷远观测者的标准钟。对于静止在太阳表面的标准钟,地球上的观测者可近似看作无穷远观测者。那么这一式告诉我们,太阳表面的标准钟会比地球表面的标准钟走得慢。

现在根据以上的讨论,我们来说明原子光谱线的红移。原子的固有振动可以看作一个节拍器的振动,固有振动频率为\nu=\frac{dN}{d\tau},其中N为节拍器振动的次数。由于P_{1}P_{2}点测得的振动次数是一样的,即dN_{1}=dN_{2},则有\nu_{1}d\tau_{1}=\nu_{2}d\tau_{2},则根据d\tau _{2}=\frac{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^{2}r_{2}}}}{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^{2}r_{1}}}}d\tau_{1}这个式子,我们可以得到\nu_{2}=\frac{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^{2}r_{1}}}}{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^{2}r_{2}}}}\nu_{1}。这个式子告诉我们,由于稳态时空中各点的标准钟的钟速不同,当光子从一点传播到另一点时,两处观测者测得的该光子的频率将不同,也就是说光谱线会发生移动。

同样地,利用d\tau _{\infty }=\left(  1-\frac{2GM}{c^{2}r} \right)^{-\frac{1}{2}}d\tau将得到静止于无穷远的观测者所看到的,来自恒星表面的光子的频率移动为\nu=\left(  1-\frac{2GM}{c^{2}r} \right)^{\frac{1}{2}}\nu_{0}。其中\nu_{0}为恒星表面处原子的固有振动频率,即该原子发射的光子的固有频率,它也就是位于恒星表面的实验室测得的该光子的频率。而\nu为无穷远观测者测得的该光子的固有频率。这一式子表明,无穷远观测者会觉得频率变小,即光谱线发生红移。

综上所述,我们明确指出:根据\nu=\left(  1-\frac{2GM}{c^{2}r} \right)^{\frac{1}{2}}\nu_{0},在地球上收到来自太阳的光子的频率比地球上氢原子发射的同种光子的要小,发生了红移,其原因只能归因于太阳表面的引力场比地球处的引力场要强,使得太阳表面的标准钟比地球上的标准钟走得慢,从而使太阳发射的光子的频率,从地球上看来,变小了。

最后,简要回答题主的最后一个关于能量变化的疑问。首先要明确一点,那就是,广义相对论和Newton理论对引力红移有着不同解释。广义相对论把引力红移归因于时空几何,时空曲率大的地方时钟走得慢,造成红移。Newton理论把引力红移归因于光子动能向势能的转换,光子动能的减少造成红移。值得说明的一点是,利用Newton理论根据光子传播过程中的能量转化,也可以算出和广义相对论一样的结论,即都能算得天文学意义上的相对红移量为Z=\frac{GM}{c^{2}r}。因此,我们说,广义相对论和Newton理论在解释引力红移上,虽然其本质是不同的,但都能得到和实验相符的结果。所以,如果题主又考虑到光子能量的问题,就转向了Newton理论的解释。我们说,广义相对论和Newton理论,这是两种独立的对引力红移的理论解释,不要把它们混在一起。

来源:知乎 www.zhihu.com

作者:李成翊

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